Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} | z - z^{2} | d z$

Schritt 1

Teile das Integral auf in Abhängigkeit davon, ob $z - z^{2}$ positiv oder negativ ist.

$\int_{0}^{1} z - z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} z d z + \int_{0}^{1} - z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $z$ nach $z$ gleich $\frac{1}{2} z^{2}$ .

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $z^{2}$ nach $z$ gleich $\frac{1}{3} z^{3}$ .

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{1}) + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $z^{3}$ .

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{1}^{2} - z d z + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - \int_{1}^{2} z d z + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $z$ nach $z$ gleich $\frac{1}{2} z^{2}$ .

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{1}{2} z^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $z^{2}$ .

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $z^{2}$ nach $z$ gleich $\frac{1}{3} z^{3}$ .

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

Schritt 12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.1

Berechne $\frac{1}{2} z^{2}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

Schritt 12.2

Berechne $\frac{z^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{z^{2}}{2}$ bei $2$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

Schritt 12.4

Berechne $\frac{1}{3} z^{3}$ bei $2$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.6

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 12.5.9.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.5.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.11

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.12

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.13

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.14

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 12.5.14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.14.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.14.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 2}{6} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.16

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{6} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.17

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{6} - (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 12.5.18.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.5.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} - (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.18.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{1}{6} - (2 - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.19

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{6} - (2 - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.20

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6} - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.21

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.5.23.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{6} - \frac{4 - 1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.23.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{1}{6} - \frac{3}{2} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.24

Um $- \frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.25

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 12.5.25.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.25.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{6} - \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 3 \cdot 3}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.27

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.5.27.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{1 - 9}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.27.2

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$\frac{- 8}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.28

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $6$ .

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Schritt 12.5.28.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2 (- 4)}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.28.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.5.28.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.28.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.28.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.29

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.30

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.31

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Schritt 12.5.32

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 12.5.33

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 12.5.34

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{4}{3} + \frac{8 - 1}{3}$

Schritt 12.5.35

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{7}{3}$

Schritt 12.5.36

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 + 7}{3}$

Schritt 12.5.37

Addiere $- 4$ und $7$ .

$\frac{3}{3}$

Schritt 12.5.38

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.5.38.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3}$

Schritt 12.5.38.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 13