Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $4$ und $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Schritt 4.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 4.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{16 - 2}{3}$

Schritt 4.2.2.9

Subtrahiere $2$ von $16$ .

$3 (\frac{14}{3})$

Schritt 4.2.2.10

Kombiniere $3$ und $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Schritt 4.2.2.11

Mutltipliziere $3$ mit $14$ .

$\frac{42}{3}$

Schritt 4.2.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $42$ und $3$ .

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Schritt 4.2.2.12.1

Faktorisiere $3$ aus $42$ heraus.

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Schritt 4.2.2.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Schritt 4.2.2.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.2.2.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14}{1}$

Schritt 4.2.2.12.2.4

Dividiere $14$ durch $1$ .

$14$

Schritt 5