Analysis Beispiele

$\int_{1}^{8} \frac{8}{3 x^{5}} d x$

Schritt 1

Da $\frac{8}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{8}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $x^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} {(x^{5})}^{- 1} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{5 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{- 5} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{4} x^{- 4}]_{1}^{8}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ bei $8$ und $1$ .

$\frac{8}{3} ((- \frac{1}{4} \cdot 8^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{4}} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Schritt 4.2.2

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4096} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4096}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4096 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $4096$ mit $4$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Schritt 4.2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1)$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4})$

Schritt 4.2.7

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4096}{4096}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4096}{4096})$

Schritt 4.2.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16384$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4096}{4096}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{4 \cdot 4096})$

Schritt 4.2.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $4096$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{16384})$

Schritt 4.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{- 1 + 4096}{16384}$

Schritt 4.2.10

Addiere $- 1$ und $4096$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{4095}{16384}$

Schritt 4.2.11

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $\frac{4095}{16384}$ .

$\frac{8 \cdot 4095}{3 \cdot 16384}$

Schritt 4.2.12

Mutltipliziere $8$ mit $4095$ .

$\frac{32760}{3 \cdot 16384}$

Schritt 4.2.13

Mutltipliziere $3$ mit $16384$ .

$\frac{32760}{49152}$

Schritt 4.2.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32760$ und $49152$ .

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Schritt 4.2.14.1

Faktorisiere $24$ aus $32760$ heraus.

$\frac{24 (1365)}{49152}$

Schritt 4.2.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.14.2.1

Faktorisiere $24$ aus $49152$ heraus.

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

Schritt 4.2.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

Schritt 4.2.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1365}{2048}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1365}{2048}$

Dezimalform:

$0.66650390 \dots$

Schritt 6