Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} \sqrt{16 x^{5}} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Schreibe $16 x^{5}$ als ${(4 x^{2})}^{2} x$ um.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} x^{5}} d x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus.

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} (x^{4} x)} d x$

Schritt 1.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} ({(x^{2})}^{2} x)} d x$

Schritt 1.1.4

Schreibe $4^{2} {(x^{2})}^{2}$ als ${(4 x^{2})}^{2}$ um.

$\int_{1}^{4} \sqrt{{(4 x^{2})}^{2} x} d x$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

Schritt 2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

Schritt 2.2.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

Schritt 2.2.6.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{5}{2}} d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}]_{1}^{4})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{2}{7}$ und $x^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}]_{1}^{4})$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$ bei $4$ und $1$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{7}{2}}}{7}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Schritt 5.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Schritt 5.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{7}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Schritt 5.2.2.4

Potenziere $2$ mit $7$ .

$4 (\frac{2 \cdot 128}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $128$ .

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Schritt 5.2.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1}{7})$

Schritt 5.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2}{7})$

Schritt 5.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{256 - 2}{7}$

Schritt 5.2.2.9

Subtrahiere $2$ von $256$ .

$4 (\frac{254}{7})$

Schritt 5.2.2.10

Kombiniere $4$ und $\frac{254}{7}$ .

$\frac{4 \cdot 254}{7}$

Schritt 5.2.2.11

Mutltipliziere $4$ mit $254$ .

$\frac{1016}{7}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1016}{7}$

Dezimalform:

$145.14285714 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$145 \frac{1}{7}$

Schritt 7