Analysis Beispiele

$\log_{2} (5) + \log_{2} (x^{2} - 1) - \log_{2} (x - 1)$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (5 (x^{2} - 1)) - \log_{2} (x - 1)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{5 (x^{2} - 1)}{x - 1})$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\log_{2} (\frac{5 (x^{2} - 1^{2})}{x - 1})$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{x - 1})$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{x - 1})$

Schritt 4.1.2

Dividiere $5 (x + 1)$ durch $1$ .

$\log_{2} (5 (x + 1))$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (5 x + 5 \cdot 1)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\log_{2} (5 x + 5)$