Analysis Beispiele

$\int x {(x + 7)}^{6} d x$

Schritt 1

Sei $u = x + 7$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x + 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.4

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (u - 7) u^{6} d u$

Schritt 2

Multipliziere $(u - 7) u^{6}$ .

$\int u \cdot u^{6} - 7 u^{6} d u$

Schritt 3

Multipliziere $u$ mit $u^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $u$ mit $u^{6}$ .

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Schritt 3.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{6} - 7 u^{6} d u$

Schritt 3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 + 6} - 7 u^{6} d u$

Schritt 3.2

Addiere $1$ und $6$ .

$\int u^{7} - 7 u^{6} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{7} d u + \int - 7 u^{6} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{7}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int - 7 u^{6} d u$

Schritt 6

Da $- 7$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 7$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 7 \int u^{6} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{6}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 7 (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{1}{8} u^{8} - 7 (\frac{1}{7}) u^{7} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{- 7}{7} u^{7} + C$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 7$ und $7$ .

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{7 \cdot - 1}{7} u^{7} + C$

Schritt 8.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{7 \cdot - 1}{7 (1)} u^{7} + C$

Schritt 8.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 1} u^{7} + C$

Schritt 8.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{- 1}{1} u^{7} + C$

Schritt 8.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{1}{8} u^{8} - u^{7} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x + 7$ .

$\frac{1}{8} {(x + 7)}^{8} - {(x + 7)}^{7} + C$