Analysis Beispiele

$\int u^{2} \sin (2 u) d u$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u^{2}$ und $dv = \sin (2 u)$ .

$u^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 u)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\cos (2 u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$u^{2} (- \frac{\cos (2 u)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{\cos (2 u)}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{2} \cdot 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- \frac{1}{2} \cdot 2$ aus dem Integral.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int \cos (2 u) (u) d u)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 u) (u) d u)$

Schritt 4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{- 1}{1} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Schritt 4.3.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - - \int \cos (2 u) (u) d u$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + 1 \int \cos (2 u) (u) d u$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\int \cos (2 u) (u) d u$ mit $1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \int \cos (2 u) (u) d u$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = \cos (2 u)$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + u (\frac{1}{2} \sin (2 u)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 u)$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + u \frac{\sin (2 u)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

Schritt 6.2

Kombiniere $u$ und $\frac{\sin (2 u)}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 u) d u)$

Schritt 8

Sei $u_{1} = 2 u$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d u$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d u$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{1} = 2 u$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $2 u$ .

$\frac{d}{d u} [2 u]$

Schritt 8.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $2 u$ nach $u$ gleich $2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$2 \frac{d}{d u} [u]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 9

Kombiniere $\sin (u_{1})$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 12

Das Integral von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \cos (u_{1})$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{1}) + C)$

Schritt 13

Schreibe $- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{1}) + C)$ als $- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + C$ um.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 u$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (2 u)}{4} + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} u^{2} \cos (2 u) + \frac{1}{2} u \sin (2 u) + \frac{1}{4} \cos (2 u) + C$