Analysis Beispiele

$\int \sqrt{y} (4 - 3 y - 2 y^{2}) d y$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 4 - 3 y - 2 y^{2}$ und $d v = \sqrt{y}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} (- 4 y - 3) d y$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y^{\frac{3}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} (- 4 y - 3) d y$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y^{\frac{3}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} (- 4 y - 3) d y$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} (- 4 y) + \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 3 d y$

Schritt 3.2

Stelle $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $- 4$ um.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - 4 \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} y + \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 3 d y$

Schritt 3.3

Stelle $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $- 3$ um.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - 4 \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} y - 3 \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 4 (2 y^{\frac{3}{2}})}{3} y - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2}}}{3} y - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{- 8 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $y$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2}} y}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Schritt 3.7

Potenziere $y$ mit $1$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 (y^{\frac{3}{2}} y^{1})}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2} + 1}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Schritt 3.9

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Schritt 3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Schritt 3.11

Addiere $3$ und $2$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{5}{2}}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Schritt 3.12

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{3} d y$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 6 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 6 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Schritt 4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6 y^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (- 2 y^{\frac{3}{2}})}{3} d y$

Schritt 4.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (- 2 y^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} d y$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (- 2 y^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} d y$

Schritt 4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 2 y^{\frac{3}{2}}}{1} d y$

Schritt 4.3.4

Dividiere $- 2 y^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{3}{2}} d y$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} d y + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \int \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} d y + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

Schritt 7

Da $\frac{8}{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{8}{3}$ aus dem Integral.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- (\frac{8}{3} \int y^{\frac{5}{2}} d y) + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{\frac{5}{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}} + C) + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{2}{7}$ und $y^{\frac{7}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

Schritt 10

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - 2 \int y^{\frac{3}{2}} d y)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{\frac{3}{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - 2 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C))$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $y^{\frac{5}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - 2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} + \frac{y^{\frac{7}{2}} \cdot - 4}{3} - (- \frac{8}{3} \cdot \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 12.3

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4 \cdot y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} \cdot \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 12.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} \cdot \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 12.3.3

Mutltipliziere $\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7}$ mit $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{2 y^{\frac{7}{2}} \cdot 8}{7 \cdot 3} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 12.3.4

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{7 \cdot 3} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 12.3.5

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 12.3.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{- 2 (2 y^{\frac{5}{2}})}{5}) + C$

Schritt 12.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{- 4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 12.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 12.3.9

Um $- (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot \frac{3}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

Schritt 12.3.10

Kombiniere $- (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5})$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

Schritt 12.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

Schritt 12.3.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}} - 3 (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} (8 y^{\frac{3}{2}} - 3 (- \frac{16}{21} y^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} y^{\frac{5}{2}})) - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} y^{\frac{7}{2}} + C$