Analysis Beispiele

Berechne den Grenzwert Limes von ( natürlicher Logarithmus von x)/x für x gegen infinity
Schritt 1
Wende die Regel von de L’Hospital an.
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Schritt 1.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 1.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 1.1.2
Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen .
Schritt 1.1.3
Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.
Schritt 1.1.4
Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 1.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 1.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 1.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 1.3.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.3.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.4
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2
Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch .