Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - e^{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 + e^{x}}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 + e^{x}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 + e^{x}}$

Schritt 2

Da der Exponent $x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $0$ an.

$\frac{1 - 0}{lim_{x \to - \infty} 1 + e^{x}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{1 - 0}{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} e^{x}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{1 - 0}{1 + lim_{x \to - \infty} e^{x}}$

Schritt 4

Da der Exponent $x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $0$ an.

$\frac{1 - 0}{1 + 0}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 + 0}$

Schritt 5.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Schritt 5.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 5.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$