Analysis Beispiele

$y = e^{a x} \sin (b x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d b} (y) = \frac{d}{d b} (e^{a x} \sin (b x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $b$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $e^{a x}$ konstant bezüglich $b$ ist, ist die Ableitung von $e^{a x} \sin (b x)$ nach $b$ gleich $e^{a x} \frac{d}{d b} [\sin (b x)]$ .

$e^{a x} \frac{d}{d b} [\sin (b x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ ist $f' (g (b)) g' (b)$ , mit $f (b) = \sin (b)$ und $g (b) = b x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $b x$ .

$e^{a x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d b} [b x])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$e^{a x} (\cos (u) \frac{d}{d b} [b x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $b x$ .

$e^{a x} (\cos (b x) \frac{d}{d b} [b x])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $b$ ist, ist die Ableitung von $b x$ nach $b$ gleich $x \frac{d}{d b} [b]$ .

$e^{a x} (\cos (b x) (x \frac{d}{d b} [b]))$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ gleich $n b^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) (x \cdot 1))$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) x)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{a x} (\cos (b x) x)$ um.

$e^{a x} x \cos (b x)$

Schritt 3.4.2

Stelle die Faktoren in $e^{a x} x \cos (b x)$ um.

$x e^{a x} \cos (b x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = x e^{a x} \cos (b x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d b}$ .

$\frac{d y}{d b} = x e^{a x} \cos (b x)$