Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) \sin (\sin (2 x)) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1})}{2} \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ und $\sin (\sin (u_{1}))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1}))}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = \sin (u_{1})$ ein.

$u_{lower} = \sin (0)$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = \sin (u_{1})$ ein.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 4.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 5

Das Integral von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u_{2})]_{0}^{1}$

Schritt 6

Berechne $- \cos (u_{2})$ bei $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + \cos (0))$

Schritt 7

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + 1)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\cos (1)$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.5403023 + 1)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.5403023$ .

$\frac{1}{2} (- 0.5403023 + 1)$

Schritt 8.3

Addiere $- 0.5403023$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0.45969769$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $0.45969769$ .

$\frac{0.45969769}{2}$

Schritt 8.5

Dividiere $0.45969769$ durch $2$ .

$0.22984884$