Analysis Beispiele

Finde die lokalen Maxima und Minima e^(4x)+e^(-x)
Schritt 1
Schreibe als Funktion.
Schritt 2
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.2.1.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 2.2.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.2.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.5
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.3.1.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 2.3.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.3.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.5
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.3.6
Schreibe als um.
Schritt 3
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 3.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.2.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 3.2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 3.2.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 3.2.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.2.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.6
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 3.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.3.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 3.3.2.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 3.3.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 3.3.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.3.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.6
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 3.3.7
Schreibe als um.
Schritt 3.3.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 4
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 5
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 5.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.2.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.2.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 5.1.2.1.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 5.1.2.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 5.1.2.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.1.2.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.1.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.2.5
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 5.1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.3.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.3.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 5.1.3.1.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 5.1.3.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 5.1.3.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.1.3.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.1.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.3.5
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 5.1.3.6
Schreibe als um.
Schritt 5.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 6
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 6.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 6.2
Bringe auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es auf beiden Seiten addierst.
Schritt 6.3
Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.
Schritt 6.4
Multipliziere die linke Seite aus.
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Schritt 6.4.1
Schreibe als um.
Schritt 6.4.2
Zerlege durch Herausziehen von aus dem Logarithmus.
Schritt 6.4.3
Der natürliche Logarithmus von ist .
Schritt 6.4.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.5
Multipliziere die rechte Seite aus.
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Schritt 6.5.1
Zerlege durch Herausziehen von aus dem Logarithmus.
Schritt 6.5.2
Der natürliche Logarithmus von ist .
Schritt 6.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.6
Bringe alle Terme, die enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.6.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 6.6.2
Addiere und .
Schritt 6.7
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 6.8
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 6.8.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 6.8.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.8.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 6.8.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.8.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 6.8.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 6.8.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 7
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 7.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 8
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 9
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 10
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 10.1
Schreibe als um.
Schritt 10.2
Vereinfache , indem du in den Logarithmus ziehst.
Schritt 10.3
Multipliziere .
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Schritt 10.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.3.2
Vereinfache , indem du in den Logarithmus ziehst.
Schritt 10.4
Vereinfache , indem du in den Logarithmus ziehst.
Schritt 10.5
Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.
Schritt 10.6
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.6.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 10.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.7
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.7.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 10.7.2
Kombiniere und .
Schritt 10.7.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 10.8
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 10.9
Kombiniere und .
Schritt 10.10
Schreibe als um.
Schritt 10.11
Vereinfache , indem du in den Logarithmus ziehst.
Schritt 10.12
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.12.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.12.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.13
Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.
Schritt 11
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 12
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.1
Simplify to substitute in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.1.1
Schreibe als um.
Schritt 12.1.2
Vereinfache , indem du in den Logarithmus ziehst.
Schritt 12.2
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 12.3
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.3.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.3.1.1
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.3.1.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.3.1.1.2
Vereinfache , indem du in den Logarithmus ziehst.
Schritt 12.3.1.2
Vereinfache , indem du in den Logarithmus ziehst.
Schritt 12.3.1.3
Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.
Schritt 12.3.1.4
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.3.1.4.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 12.3.1.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.3.1.5
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.3.1.5.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 12.3.1.5.2
Kombiniere und .
Schritt 12.3.1.5.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 12.3.1.6
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 12.3.1.7
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.3.1.7.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.3.1.7.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.3.1.8
Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.
Schritt 12.3.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 13
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Minimum
Schritt 14