Analysis Beispiele

$\int \frac{\cos (x)}{\sqrt{9 - \sin^{2} (x)}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Schritt 2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (\frac{u}{3})$

$\arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Schritt 4

Schreibe $\arcsin (\frac{u}{3}) + C$ als $\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ um.

$\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\arcsin (\frac{1}{3} \sin (x)) + C$