Analysis Beispiele

$\int \frac{\sin (2 x)}{3 + \cos (2 x)} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = 3 + \cos (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = 3 + \cos (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 + \cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \cos (2 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$0 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 - \sin (2 x) \cdot 2$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 \sin (2 x)$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $2 \sin (2 x)$ von $0$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 + \cos (2 x)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 + \cos (2 x) |) + C$