Analysis Beispiele

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{9 + 4 \sec^{2} (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = \sec (x)$ . Dann ist $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{9 + 4 u^{2}} d u$

Schritt 2

Faktorisiere $4$ aus $9 + 4 u^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $9$ heraus.

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 u^{2}} d u$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4$ aus $4 u^{2}$ heraus.

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})} d u$

Schritt 2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})$ heraus.

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + u^{2})} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{9}{4} + u^{2}} d u$

Schritt 4

Schreibe $\frac{9}{4}$ als ${(\frac{3}{2})}^{2}$ um.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}} d u$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}}$ nach $u$ ist $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{3}{2}$ zu dividieren.

$\frac{1}{4} (1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Schritt 6.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{3}{2}$ zu dividieren.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (u \frac{2}{3}) + C)$

Schritt 6.1.4

Kombiniere $u$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u \cdot 2}{3}) + C)$

Schritt 6.1.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot u}{3}) + C)$

Schritt 6.1.6

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\arctan (\frac{2 u}{3})$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$

Schritt 6.2

Schreibe $\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$ als $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$ um.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{2}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Schritt 6.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Schritt 6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} \sec (x)) + C$