Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{t} \cdot (\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}) d t$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{t}$ mit $\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}$ .

$\int \frac{\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Um $\frac{2}{t^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t}{t}$ .

$\int \frac{\frac{2}{t^{2}} \cdot \frac{t}{t} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Schritt 1.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $t^{3}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{t^{2}}$ mit $\frac{t}{t}$ .

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2} t} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Schritt 1.2.2.2

Multipliziere $t^{2}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.2.1

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2} t^{1}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2 + 1}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Schritt 1.2.2.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{3}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{\frac{2 t - 3}{t^{3}}}{t} d t$

Schritt 1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3}} \cdot \frac{1}{t} d t$

Schritt 1.4

Multipliziere $\frac{2 t - 3}{t^{3}} \cdot \frac{1}{t}$ .

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 t - 3}{t^{3}}$ mit $\frac{1}{t}$ .

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3} t} d t$

Schritt 1.4.2

Multipliziere $t^{3}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $t^{3}$ mit $t$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3} t^{1}} d t$

Schritt 1.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3 + 1}} d t$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$\int \frac{2 t - 3}{t^{4}} d t$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $t^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (2 t - 3) {(t^{4})}^{- 1} d t$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 t - 3) t^{4 \cdot - 1} d t$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int (2 t - 3) t^{- 4} d t$

Schritt 3

Multipliziere $(2 t - 3) t^{- 4}$ .

$\int 2 t \cdot t^{- 4} - 3 t^{- 4} d t$

Schritt 4

Multipliziere $t$ mit $t^{- 4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $t^{- 4}$ .

$\int 2 (t^{- 4} t) - 3 t^{- 4} d t$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $t^{- 4}$ mit $t$ .

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Schritt 4.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int 2 (t^{- 4} t^{1}) - 3 t^{- 4} d t$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 t^{- 4 + 1} - 3 t^{- 4} d t$

Schritt 4.3

Addiere $- 4$ und $1$ .

$\int 2 t^{- 3} - 3 t^{- 4} d t$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 t^{- 3} d t + \int - 3 t^{- 4} d t$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int t^{- 3} d t + \int - 3 t^{- 4} d t$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- 3}$ nach $t$ gleich $- \frac{1}{2} t^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} t^{- 2} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $t^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{t^{- 2}}{2} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

Schritt 8.2

Bringe $t^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

Schritt 9

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 \int t^{- 4} d t$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- 4}$ nach $t$ gleich $- \frac{1}{3} t^{- 3}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3} t^{- 3} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Kombiniere $t^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{t^{- 3}}{3} + C)$

Schritt 11.1.2

Bringe $t^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}} + C)$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$\frac{- 1}{t^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}}) + C$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{t^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}}) + C$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- \frac{1}{t^{2}} + 3 \frac{1}{3 t^{3}} + C$

Schritt 11.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 t^{3}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{3}{3 t^{3}} + C$

Schritt 11.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{3}{3 t^{3}} + C$

Schritt 11.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{1}{t^{3}} + C$