Analysis Beispiele

$lim_{y \to - 3} \sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\sqrt{\frac{lim_{y \to - 3} y^{2} - 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $- 3$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{y \to - 3} y^{2} - lim_{y \to - 3} 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $y^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{\frac{{(lim_{y \to - 3} y)}^{2} - lim_{y \to - 3} 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Schritt 2.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $y$ sich $- 3$ annähert.

$\sqrt{\frac{{(lim_{y \to - 3} y)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $- 3$ für $y$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\sqrt{\frac{9 - 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\sqrt{\frac{0}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $- 3$ annähert.

$\sqrt{\frac{0}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + lim_{y \to - 3} 7 y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Schritt 2.1.3.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $y$ ist.

$\sqrt{\frac{0}{2 lim_{y \to - 3} y^{2} + lim_{y \to - 3} 7 y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Schritt 2.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $y^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{\frac{0}{2 {(lim_{y \to - 3} y)}^{2} + lim_{y \to - 3} 7 y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Schritt 2.1.3.4

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $y$ ist.

$\sqrt{\frac{0}{2 {(lim_{y \to - 3} y)}^{2} + 7 lim_{y \to - 3} y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Schritt 2.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $y$ sich $- 3$ annähert.

$\sqrt{\frac{0}{2 {(lim_{y \to - 3} y)}^{2} + 7 lim_{y \to - 3} y + 3}}$

Schritt 2.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 3$ für alle $y$ .

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Schritt 2.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $- 3$ für $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 {(- 3)}^{2} + 7 lim_{y \to - 3} y + 3}}$

Schritt 2.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $- 3$ für $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 {(- 3)}^{2} + 7 \cdot - 3 + 3}}$

Schritt 2.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.7.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 \cdot 9 + 7 \cdot - 3 + 3}}$

Schritt 2.1.3.7.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\sqrt{\frac{0}{18 + 7 \cdot - 3 + 3}}$

Schritt 2.1.3.7.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 3$ .

$\sqrt{\frac{0}{18 - 21 + 3}}$

Schritt 2.1.3.7.2

Subtrahiere $21$ von $18$ .

$\sqrt{\frac{0}{- 3 + 3}}$

Schritt 2.1.3.7.3

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Schritt 2.1.3.7.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Schritt 2.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{y \to - 3} \frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3} = lim_{y \to - 3} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 9$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y + \frac{d}{d y} [- 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Schritt 2.3.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y + 0}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Schritt 2.3.5

Addiere $2 y$ und $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y^{2} + 7 y + 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Schritt 2.3.7

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.7.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Schritt 2.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{2 \cdot 2 y + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Schritt 2.3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Schritt 2.3.8

Berechne $\frac{d}{d y} [7 y]$ .

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Schritt 2.3.8.1

Da $7$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $7 y$ nach $y$ gleich $7 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Schritt 2.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]}}$

Schritt 2.3.8.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 + \frac{d}{d y} [3]}}$

Schritt 2.3.9

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 + 0}}$

Schritt 2.3.10

Addiere $4 y + 7$ und $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $y$ ist.

$\sqrt{2 lim_{y \to - 3} \frac{y}{4 y + 7}}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $- 3$ annähert.

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{lim_{y \to - 3} 4 y + 7}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $- 3$ annähert.

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{lim_{y \to - 3} 4 y + lim_{y \to - 3} 7}}$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $y$ ist.

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{4 lim_{y \to - 3} y + lim_{y \to - 3} 7}}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $y$ sich $- 3$ annähert.

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{4 lim_{y \to - 3} y + 7}}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 3$ für alle $y$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $- 3$ für $y$ .

$\sqrt{2 \frac{- 3}{4 lim_{y \to - 3} y + 7}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $- 3$ für $y$ .

$\sqrt{2 \frac{- 3}{4 \cdot - 3 + 7}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{- 3}{4 \cdot - 3 + 7}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot - 3}{4 \cdot - 3 + 7}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot - 3}{- 12 + 7}}$

Schritt 5.3

Addiere $- 12$ und $7$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot - 3}{- 5}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\sqrt{\frac{- 6}{- 5}}$

Schritt 5.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sqrt{\frac{6}{5}}$

Schritt 5.6

Schreibe $\sqrt{\frac{6}{5}}$ als $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ um.

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 5.8.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 5.8.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 5.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 5.8.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 5.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 5.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 5}}{5}$

Schritt 5.9.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{30}}{5}$

Dezimalform:

$1.09544511 \dots$