Analysis Beispiele

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x]$ als $\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 \sqrt{2 x} d x]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $8 x$ als $2^{2} \cdot (2 x)$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{4 (2) x} d x]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{2^{2} \cdot 2 x} d x]$

Schritt 1.1.3

Füge Klammern hinzu.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{2^{2} \cdot (2 x)} d x]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 \sqrt{2 x} d x]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} d x]$

Schritt 3

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}} d x]$

Schritt 4

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) d x]$

Schritt 5

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Schritt 7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Schritt 7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Schritt 8

Nachdem $\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$ ausgewertet wurde, ist es konstant bezüglich $x$ , folglich ist die Ableitung von $\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$ nach $x$ gleich $0$ .

$0$