Analysis Beispiele

$\int_{2 x}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$

Schritt 1

Teile das Integral in zwei Integrale auf, wobei $c$ ein Wert zwischen $2 x$ und $3 x + 1$ ist.

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

Schritt 3

Vertausche die Grenzen der Integration.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

Schritt 4

Nehme die Ableitung von $- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$\frac{d}{d x} [2 x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

Schritt 6

Nehme die Ableitung von $\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [3 x + 1] \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Schritt 8

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 8.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 9.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + 0) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Schritt 9.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 9.2.1

Addiere $3$ und $0$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$2 (- \sin ({(2 (x))}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.3.1

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$2 (- \sin (2^{4} x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Schritt 9.2.3.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$2 (- \sin (16 x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Schritt 9.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (16 x^{4}) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$