Analysis Beispiele

$\int_{9}^{16} \sqrt{x} - 4 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{9}^{16} \sqrt{x} d x + \int_{9}^{16} - 4 d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{9}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{9}^{16} - 4 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16} + \int_{9}^{16} - 4 d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16} + - 4 x]_{9}^{16}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16}$ und $- 4 x]_{9}^{16}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 x]_{9}^{16}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 x$ bei $16$ und $9$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 16) - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.4

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{128}{3} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$\frac{128}{3} - 64 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.8

Um $- 64$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} - 64 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.9

Kombiniere $- 64$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 64 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{128 - 64 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.11.1

Mutltipliziere $- 64$ mit $3$ .

$\frac{128 - 192}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.11.2

Subtrahiere $192$ von $128$ .

$\frac{- 64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.13

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.14

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.15.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.16

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 27 - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.17

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $27$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{2 \cdot 27}{3} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.18

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{54}{3} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 5.2.2.19.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$- \frac{64}{3} - (\frac{3 \cdot 18}{3} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.19.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{64}{3} - (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{64}{3} - (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{64}{3} - (\frac{18}{1} - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.19.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$- \frac{64}{3} - (18 - 4 \cdot 9)$

Schritt 5.2.2.20

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$- \frac{64}{3} - (18 - 36)$

Schritt 5.2.2.21

Subtrahiere $36$ von $18$ .

$- \frac{64}{3} - - 18$

Schritt 5.2.2.22

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 18$ .

$- \frac{64}{3} + 18$

Schritt 5.2.2.23

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.2.24

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.2.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 64 + 18 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.2.26

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.26.1

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$\frac{- 64 + 54}{3}$

Schritt 5.2.2.26.2

Addiere $- 64$ und $54$ .

$\frac{- 10}{3}$

Schritt 5.2.2.27

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{10}{3}$

Dezimalform:

$- 3.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 3 \frac{1}{3}$

Schritt 7