Analysis Beispiele

$\int 6 t^{2} \sqrt[3]{t} d t$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{t}$ als $t^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int 6 t^{2} t^{\frac{1}{3}} d t$

Schritt 1.2

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Bewege $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int 6 (t^{\frac{1}{3}} t^{2}) d t$

Schritt 1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 6 t^{\frac{1}{3} + 2} d t$

Schritt 1.2.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\int 6 t^{\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} d t$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\int 6 t^{\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} d t$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 6 t^{\frac{1 + 2 \cdot 3}{3}} d t$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int 6 t^{\frac{1 + 6}{3}} d t$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $1$ und $6$ .

$\int 6 t^{\frac{7}{3}} d t$

Schritt 2

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int t^{\frac{7}{3}} d t$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{7}{3}}$ nach $t$ gleich $\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}}$ .

$6 (\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $6 (\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C)$ als $6 (\frac{3}{10}) t^{\frac{10}{3}} + C$ um.

$6 (\frac{3}{10}) t^{\frac{10}{3}} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{3}{10}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{18}{10} t^{\frac{10}{3}} + C$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $10$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 (9)}{10} t^{\frac{10}{3}} + C$

Schritt 4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 5} t^{\frac{10}{3}} + C$

Schritt 4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 5} t^{\frac{10}{3}} + C$

Schritt 4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{5} t^{\frac{10}{3}} + C$