Analysis Beispiele

$\int 6 e^{6 x} \sin (e^{6 x}) d x$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int e^{6 x} \sin (e^{6 x}) d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 6 x$ . Dann ist $d u_{1} = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = 6 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$6 \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $e^{u_{1}}$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}}}{6} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{e^{u_{1}}}{6}$ und $\sin (e^{u_{1}})$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}})}{6} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $6$ .

$\frac{6}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$ mit $1$ .

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Dann ist $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Schritt 6.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 7

Das Integral von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \cos (u_{2})$ .

$- \cos (u_{2}) + C$

Schritt 8

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{u_{1}}$ .

$- \cos (e^{u_{1}}) + C$

Schritt 8.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $6 x$ .

$- \cos (e^{6 x}) + C$