Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} 2 x - x^{2} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $0$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $0$ .

$2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 (2 - \frac{0}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (2 - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 (2 - 0) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (2 + 0) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.6

Addiere $2$ und $0$ .

$2 \cdot 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.8

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{3})$

Schritt 7.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.10.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Schritt 7.2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 7.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 7.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{1})$

Schritt 7.2.3.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$4 - (\frac{8}{3} - 0)$

Schritt 7.2.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 - (\frac{8}{3} + 0)$

Schritt 7.2.3.12

Addiere $\frac{8}{3}$ und $0$ .

$4 - \frac{8}{3}$

Schritt 7.2.3.13

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 7.2.3.14

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 7.2.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \cdot 3 - 8}{3}$

Schritt 7.2.3.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.16.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 - 8}{3}$

Schritt 7.2.3.16.2

Subtrahiere $8$ von $12$ .

$\frac{4}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4}{3}$

Dezimalform:

$1.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{1}{3}$

Schritt 9