Analysis Beispiele

$\int x \sqrt[4]{5 x + 1} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sqrt[4]{5 x + 1}$ .

$x (\frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{4}{25}$ und ${(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ .

$x \frac{4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25}$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

Schritt 3

Da $\frac{4}{25}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{4}{25}$ aus dem Integral.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - (\frac{4}{25} \int {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x)$

Schritt 4

Sei $u = 5 x + 1$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 5 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $5$ und $0$ .

$5$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} \int u^{\frac{5}{4}} \frac{1}{5} d u$

Schritt 5

Kombiniere $u^{\frac{5}{4}}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{5} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} (\frac{1}{5} \int u^{\frac{5}{4}} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{4}{25}$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{5 \cdot 25} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{5}{4}}$ nach $u$ gleich $\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$ als $\frac{4}{25} x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$ um.

$\frac{4}{25} x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{4}{25}$ und $x$ .

$\frac{4 x}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $\frac{4 x}{25}$ und ${(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $\frac{4}{125}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 125} u^{\frac{9}{4}} + C$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{9 \cdot 125} u^{\frac{9}{4}} + C$

Schritt 9.2.5

Mutltipliziere $9$ mit $125$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} + C$

Schritt 9.2.6

Um $- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot \frac{25}{25} + C$

Schritt 9.2.7

Kombiniere $- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}}$ und $\frac{25}{25}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} + \frac{- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot 25}{25} + C$

Schritt 9.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot 25}{25} + C$

Schritt 9.2.9

Kombiniere $u^{\frac{9}{4}}$ und $\frac{16}{1125}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125} \cdot 25}{25} + C$

Schritt 9.2.10

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 25 \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125}}{25} + C$

Schritt 9.2.11

Kombiniere $- 25$ und $\frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 25 (u^{\frac{9}{4}} \cdot 16)}{1125}}{25} + C$

Schritt 9.2.12

Mutltipliziere $16$ mit $- 25$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 400 u^{\frac{9}{4}}}{1125}}{25} + C$

Schritt 9.2.13

Faktorisiere $25$ aus $- 400 u^{\frac{9}{4}}$ heraus.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{1125}}{25} + C$

Schritt 9.2.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.14.1

Faktorisiere $25$ aus $1125$ heraus.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{25 (45)}}{25} + C$

Schritt 9.2.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{25 \cdot 45}}{25} + C$

Schritt 9.2.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Schritt 9.2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Schritt 9.2.16

Um $4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{45}{45}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{45}{45} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Schritt 9.2.17

Kombiniere $4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ und $\frac{45}{45}$ .

$\frac{\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 45}{45} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Schritt 9.2.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 45 - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Schritt 9.2.19

Mutltipliziere $45$ mit $4$ .

$\frac{\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Schritt 9.2.20

Schreibe $\frac{\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25}$ als ein Produkt um.

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45} \cdot \frac{1}{25} + C$

Schritt 9.2.21

Mutltipliziere $\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}$ mit $\frac{1}{25}$ .

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45 \cdot 25} + C$

Schritt 9.2.22

Mutltipliziere $45$ mit $25$ .

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{1125} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $5 x + 1$ .

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(5 x + 1)}^{\frac{9}{4}}}{1125} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{1125} (180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(5 x + 1)}^{\frac{9}{4}}) + C$