Analysis Beispiele

$y = {(2 x + 1)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{2})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(2 x + 1)}^{2}$ als $(2 x + 1) (2 x + 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x + 1)]$

Schritt 3.2

Multipliziere $(2 x + 1) (2 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)]$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)]$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1]$

Schritt 3.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$8 x + 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x + 4 + 0$

Schritt 3.12

Addiere $8 x + 4$ und $0$ .

$8 x + 4$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 8 x + 4$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 4$