Analysis Beispiele

$\int_{1}^{5} \frac{5}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$5 \int_{1}^{5} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int_{1}^{5} x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$5 \int_{1}^{5} x^{- 3} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{5})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$5 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{5})$

Schritt 4.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{5})$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $- \frac{1}{2 x^{2}}$ bei $5$ und $1$ .

$5 ((- \frac{1}{2 \cdot 5^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$5 (- \frac{1}{2 \cdot 25} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 4.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.2.2.5

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25})$

Schritt 4.2.2.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $50$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{25}{2 \cdot 25})$

Schritt 4.2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{25}{50})$

Schritt 4.2.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \frac{- 1 + 25}{50}$

Schritt 4.2.2.8

Addiere $- 1$ und $25$ .

$5 (\frac{24}{50})$

Schritt 4.2.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $50$ .

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Schritt 4.2.2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$5 \frac{2 (12)}{50}$

Schritt 4.2.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $50$ heraus.

$5 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.2.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.2.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{12}{25})$

Schritt 4.2.2.10

Kombiniere $5$ und $\frac{12}{25}$ .

$\frac{5 \cdot 12}{25}$

Schritt 4.2.2.11

Mutltipliziere $5$ mit $12$ .

$\frac{60}{25}$

Schritt 4.2.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $60$ und $25$ .

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Schritt 4.2.2.12.1

Faktorisiere $5$ aus $60$ heraus.

$\frac{5 (12)}{25}$

Schritt 4.2.2.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.12.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{5 \cdot 12}{5 \cdot 5}$

Schritt 4.2.2.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 12}{5 \cdot 5}$

Schritt 4.2.2.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{12}{5}$

Dezimalform:

$2.4$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{2}{5}$

Schritt 6