Analysis Beispiele

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ bei $8$ und $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.2.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $4$ .

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Schritt 3.2.7.1

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.2.7.2.4

Dividiere $12$ durch $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.2.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$12 - \frac{3}{4}$

Schritt 3.2.10

Um $12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Schritt 3.2.11

Kombiniere $12$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}$

Schritt 3.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

Schritt 3.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.13.1

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$\frac{48 - 3}{4}$

Schritt 3.2.13.2

Subtrahiere $3$ von $48$ .

$\frac{45}{4}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{45}{4}$

Dezimalform:

$11.25$

Darstellung als gemischte Zahl:

$11 \frac{1}{4}$

Schritt 5