Analysis Beispiele

$\int_{1}^{500} 13^{x} - 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1

Berechne $\int_{1}^{500} 13^{x} - 11^{x} d x$ .

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Schritt 1.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{500} 13^{x} d x + \int_{1}^{500} - 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1.2

Das Integral von $13^{x}$ nach $x$ ist $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ .

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{1}^{500} + \int_{1}^{500} - 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{1}^{500} - \int_{1}^{500} 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1.4

Das Integral von $11^{x}$ nach $x$ ist $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ .

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{1}^{500} - (\frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{1}^{500}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1.5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Berechne $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ bei $500$ und $1$ .

$(\frac{13^{500}}{\ln (13)}) - \frac{13^{1}}{\ln (13)} - (\frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{1}^{500}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1.5.2

Berechne $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ bei $500$ und $1$ .

$\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13^{1}}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{1}}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Berechne den Exponenten.

$\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{1}}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{1}}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1.5.3.3

Berechne den Exponenten.

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1.5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1.5.3.5

Um $\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ .

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} \cdot \frac{\ln (11)}{\ln (11)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1.5.3.6

Um $- \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ .

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} \cdot \frac{\ln (11)}{\ln (11)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} \cdot \frac{\ln (13)}{\ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1.5.3.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\ln (13) \ln (11)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.3.7.1

Mutltipliziere $\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)}$ mit $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11)}{\ln (13) \ln (11)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} \cdot \frac{\ln (13)}{\ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1.5.3.7.2

Mutltipliziere $\frac{11^{500} - 11}{\ln (11)}$ mit $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11)}{\ln (13) \ln (11)} - \frac{(11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1.5.3.7.3

Stelle die Faktoren von $\ln (13) \ln (11)$ um.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11)}{\ln (11) \ln (13)} - \frac{(11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 1.5.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Schritt 2

Berechne $\int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$ .

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Schritt 2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} d x + \int_{2}^{500} - 13^{x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $11^{x}$ nach $x$ ist $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{2}^{500} + \int_{2}^{500} - 13^{x} d x$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{2}^{500} - \int_{2}^{500} 13^{x} d x$

Schritt 2.4

Das Integral von $13^{x}$ nach $x$ ist $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{2}^{500} - (\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{2}^{500})$

Schritt 2.5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Berechne $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ bei $500$ und $2$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + (\frac{11^{500}}{\ln (11)}) - \frac{11^{2}}{\ln (11)} - (\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{2}^{500})$

Schritt 2.5.2

Berechne $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ bei $500$ und $2$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{2}}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13^{2}}{\ln (13)})$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13^{2}}{\ln (13)})$

Schritt 2.5.3.2

Potenziere $13$ mit $2$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)})$

Schritt 2.5.3.3

Um $- (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \cdot \frac{\ln (11)}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)}$

Schritt 2.5.3.4

Kombiniere $- (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)})$ und $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} + \frac{- (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11)}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)}$

Schritt 2.5.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11)}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)}$

Schritt 2.5.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Um $\frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)} \cdot \frac{\ln (13)}{\ln (13)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)}$ mit $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{(11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)}$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13) + (11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)}$