Analysis Beispiele

$\int_{1}^{5} x \sqrt{2 x^{2} - 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x^{2} - 1$ . Dann ist $d u = 4 x d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x^{2} - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$4 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x^{2} - 1$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{2} - 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x^{2} - 1$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 5^{2} - 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 25 - 1$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$u_{upper} = 50 - 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1$ von $50$ .

$u_{upper} = 49$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 49$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{49} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{49}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $49$ und $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $7$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Schritt 6.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 6.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{686 - 2}{3}$

Schritt 6.2.10

Subtrahiere $2$ von $686$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{684}{3}$

Schritt 6.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $684$ und $3$ .

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Schritt 6.2.11.1

Faktorisiere $3$ aus $684$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3}$

Schritt 6.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 (1)}$

Schritt 6.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 \cdot 1}$

Schritt 6.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{228}{1}$

Schritt 6.2.11.2.4

Dividiere $228$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 228$

Schritt 6.2.12

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $228$ .

$\frac{228}{4}$

Schritt 6.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $228$ und $4$ .

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Schritt 6.2.13.1

Faktorisiere $4$ aus $228$ heraus.

$\frac{4 \cdot 57}{4}$

Schritt 6.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 57}{4 (1)}$

Schritt 6.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 57}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{57}{1}$

Schritt 6.2.13.2.4

Dividiere $57$ durch $1$ .

$57$

Schritt 7