Analysis Beispiele

$\int 10 x \ln (2 x) d x$

Schritt 1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$10 \int x \ln (2 x) d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (2 x)$ und $d v = x$ .

$10 (\ln (2 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$10 (\ln (2 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $\ln (2 x)$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$10 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$10 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$10 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$10 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$10 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$10 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$10 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$10 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$10 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Schritt 6.2

Schreibe $10 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ als $10 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ um.

$10 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$10 (\frac{1}{2} \ln (2 x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$