Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e} x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{e} x^{2} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3}$ bei $e$ und $1$ .

$(\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Schritt 5.1.2

Berechne $\ln (| x |)$ bei $e$ und $1$ .

$\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 5.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 5.1.3.4

Um $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 5.1.3.5

Kombiniere $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 5.1.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 5.1.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{3} - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{3}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

$e$ ist ungefähr $2.71828182$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{3}$

Schritt 5.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{3}$

Schritt 5.3.3

Dividiere $e$ durch $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (e) - 1}{3}$

Schritt 5.3.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \cdot 1 - 1}{3}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 - 1}{3}$

Schritt 5.3.6

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Dezimalform:

$5.36184564 \dots$

Schritt 7