Analysis Beispiele

$\int 18 t^{2} e^{- t^{3}} d t$

Schritt 1

Da $18$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $18$ aus dem Integral.

$18 \int t^{2} e^{- t^{3}} d t$

Schritt 2

Sei $u = - t^{3}$ . Dann ist $d u = - 3 t^{2} d t$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = t^{2} d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = - t^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $- t^{3}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{3}]$

Schritt 2.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{3}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (3 t^{2})$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 t^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$18 \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$18 \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$18 \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$18 (- \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$- 18 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- 18 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 18$ .

$\frac{- 18}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $3$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 18$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 6}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 6}{3 (1)} \int e^{u} d u$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 6}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 6}{1} \int e^{u} d u$

Schritt 7.2.2.4

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$- 6 \int e^{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- 6 (e^{u} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$- 6 e^{u} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $- t^{3}$ .

$- 6 e^{- t^{3}} + C$