Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{0} 4 x^{2} + 4 x d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 2}^{0} 4 x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 x d x$

Schritt 2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{- 2}^{0} x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 x d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} 4 x d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} 4 x d x$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + 4 \int_{- 2}^{0} x d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $0$ und $- 2$ .

$4 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $0$ und $- 2$ .

$4 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 (\frac{0}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$4 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$4 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$4 (0 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$4 (0 - \frac{- 8}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (0 - - \frac{8}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 (0 + 1 (\frac{8}{3})) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.6

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $1$ .

$4 (0 + \frac{8}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7

Addiere $0$ und $\frac{8}{3}$ .

$4 (\frac{8}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.8

Kombiniere $4$ und $\frac{8}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 8}{3} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$\frac{32}{3} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{32}{3} + 4 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{32}{3} + 4 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{32}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{32}{3} + 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{32}{3} + 4 (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.12

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{32}{3} + 4 (0 - \frac{4}{2})$

Schritt 7.2.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{32}{3} + 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Schritt 7.2.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{32}{3} + 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Schritt 7.2.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32}{3} + 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Schritt 7.2.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{32}{3} + 4 (0 - \frac{2}{1})$

Schritt 7.2.3.13.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{32}{3} + 4 (0 - 1 \cdot 2)$

Schritt 7.2.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{32}{3} + 4 (0 - 2)$

Schritt 7.2.3.15

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{32}{3} + 4 \cdot - 2$

Schritt 7.2.3.16

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{32}{3} - 8$

Schritt 7.2.3.17

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.3.18

Kombiniere $- 8$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2.3.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{32 - 8 \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2.3.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.20.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$\frac{32 - 24}{3}$

Schritt 7.2.3.20.2

Subtrahiere $24$ von $32$ .

$\frac{8}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{8}{3}$

Dezimalform:

$2.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{2}{3}$

Schritt 9