Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{- 1} 8 y^{3} + \frac{10}{y^{3}} d y$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 2}^{- 1} 8 y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} \frac{10}{y^{3}} d y$

Schritt 2

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int_{- 2}^{- 1} y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} \frac{10}{y^{3}} d y$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} y^{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} \frac{10}{y^{3}} d y$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{4}$ .

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} \frac{10}{y^{3}} d y$

Schritt 5

Da $10$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 10 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{y^{3}} d y$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $y^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 10 \int_{- 2}^{- 1} {(y^{3})}^{- 1} d y$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 10 \int_{- 2}^{- 1} y^{3 \cdot - 1} d y$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 10 \int_{- 2}^{- 1} y^{- 3} d y$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 3}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 10 (- \frac{1}{2} y^{- 2}]_{- 2}^{- 1})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $y^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 10 (- \frac{y^{- 2}}{2}]_{- 2}^{- 1})$

Schritt 8.1.2

Bringe $y^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 10 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{y^{4}}{4}$ bei $- 1$ und $- 2$ .

$8 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 10 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

Schritt 8.2.2

Berechne $- \frac{1}{2 y^{2}}$ bei $- 1$ und $- 2$ .

$8 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$8 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.2

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$8 (\frac{1}{4} - \frac{16}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 8.2.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$8 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$8 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 (\frac{1}{4} - \frac{4}{1}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.3.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$8 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 4) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$8 (\frac{1}{4} - 4) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.5

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.6

Kombiniere $- 4$ und $\frac{4}{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 \frac{1 - 4 \cdot 4}{4} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.8.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$8 \frac{1 - 16}{4} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.8.2

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$8 (\frac{- 15}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 (- \frac{15}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 (\frac{15}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.11

Kombiniere $- 8$ und $\frac{15}{4}$ .

$\frac{- 8 \cdot 15}{4} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.12

Mutltipliziere $- 8$ mit $15$ .

$\frac{- 120}{4} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 120$ und $4$ .

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Schritt 8.2.3.13.1

Faktorisiere $4$ aus $- 120$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 30}{4} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 30}{4 (1)} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 30}{4 \cdot 1} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 30}{1} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.13.2.4

Dividiere $- 30$ durch $1$ .

$- 30 + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.14

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 30 + 10 (- \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.15

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 30 + 10 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 8.2.3.16

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 30 + 10 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 4})$

Schritt 8.2.3.17

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- 30 + 10 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{8})$

Schritt 8.2.3.18

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- 30 + 10 (- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8})$

Schritt 8.2.3.19

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.3.19.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$- 30 + 10 (- \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{8})$

Schritt 8.2.3.19.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- 30 + 10 (- \frac{4}{8} + \frac{1}{8})$

Schritt 8.2.3.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 30 + 10 \frac{- 4 + 1}{8}$

Schritt 8.2.3.21

Addiere $- 4$ und $1$ .

$- 30 + 10 (\frac{- 3}{8})$

Schritt 8.2.3.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 30 + 10 (- \frac{3}{8})$

Schritt 8.2.3.23

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- 30 - 10 (\frac{3}{8})$

Schritt 8.2.3.24

Kombiniere $- 10$ und $\frac{3}{8}$ .

$- 30 + \frac{- 10 \cdot 3}{8}$

Schritt 8.2.3.25

Mutltipliziere $- 10$ mit $3$ .

$- 30 + \frac{- 30}{8}$

Schritt 8.2.3.26

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 30$ und $8$ .

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Schritt 8.2.3.26.1

Faktorisiere $2$ aus $- 30$ heraus.

$- 30 + \frac{2 (- 15)}{8}$

Schritt 8.2.3.26.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.26.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$- 30 + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.2.3.26.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 30 + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.2.3.26.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 30 + \frac{- 15}{4}$

Schritt 8.2.3.27

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 30 - \frac{15}{4}$

Schritt 8.2.3.28

Um $- 30$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- 30 \cdot \frac{4}{4} - \frac{15}{4}$

Schritt 8.2.3.29

Kombiniere $- 30$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 30 \cdot 4}{4} - \frac{15}{4}$

Schritt 8.2.3.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 30 \cdot 4 - 15}{4}$

Schritt 8.2.3.31

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.31.1

Mutltipliziere $- 30$ mit $4$ .

$\frac{- 120 - 15}{4}$

Schritt 8.2.3.31.2

Subtrahiere $15$ von $- 120$ .

$\frac{- 135}{4}$

Schritt 8.2.3.32

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{135}{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{135}{4}$

Dezimalform:

$- 33.75$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 33 \frac{3}{4}$

Schritt 10