Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.
Schritt 1.1.1
Faktorisiere den Bruch.
Schritt 1.1.1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.1.1.2
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 1.1.2
Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein .
Schritt 1.1.3
Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein .
Schritt 1.1.4
Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich .
Schritt 1.1.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 1.1.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.1.6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 1.1.6.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.6.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.1.7
Vereinfache jeden Term.
Schritt 1.1.7.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 1.1.7.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.7.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.1.7.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.7.3
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.1.7.4
Schreibe als um.
Schritt 1.1.7.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 1.1.7.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.7.5.2
Dividiere durch .
Schritt 1.1.7.6
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.7.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.8
Bewege .
Schritt 1.2
Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.
Schritt 1.2.1
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 1.2.2
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 1.2.3
Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.
Schritt 1.3
Löse das Gleichungssystem.
Schritt 1.3.1
Löse in nach auf.
Schritt 1.3.1.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 1.3.1.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.3.2
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
Schritt 1.3.2.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 1.3.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 1.3.2.2.1
Vereinfache .
Schritt 1.3.2.2.1.1
Multipliziere .
Schritt 1.3.2.2.1.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.2.2.1.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.2.2.1.2
Addiere und .
Schritt 1.3.3
Löse in nach auf.
Schritt 1.3.3.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 1.3.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 1.3.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 1.3.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 1.3.3.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.3.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.3.4
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
Schritt 1.3.4.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 1.3.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 1.3.4.2.1
Multipliziere mit .
Schritt 1.3.5
Liste alle Lösungen auf.
Schritt 1.4
Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in durch die Werte, die für und ermittelt wurden.
Schritt 1.5
Vereinfache.
Schritt 1.5.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 1.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.3
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.5.4
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 1.5.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 4
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 5
Schritt 5.1
Es sei . Ermittle .
Schritt 5.1.1
Differenziere .
Schritt 5.1.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 5.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.1.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 5.1.5
Addiere und .
Schritt 5.2
Setze die untere Grenze für in ein.
Schritt 5.3
Addiere und .
Schritt 5.4
Setze die obere Grenze für in ein.
Schritt 5.5
Addiere und .
Schritt 5.6
Die für und gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.
Schritt 5.7
Schreibe die Aufgabe mithilfe von , und den neuen Grenzen der Integration neu.
Schritt 6
Das Integral von nach ist .
Schritt 7
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 8
Schritt 8.1
Es sei . Ermittle .
Schritt 8.1.1
Differenziere .
Schritt 8.1.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 8.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 8.1.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 8.1.5
Addiere und .
Schritt 8.2
Setze die untere Grenze für in ein.
Schritt 8.3
Subtrahiere von .
Schritt 8.4
Setze die obere Grenze für in ein.
Schritt 8.5
Subtrahiere von .
Schritt 8.6
Die für und gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.
Schritt 8.7
Schreibe die Aufgabe mithilfe von , und den neuen Grenzen der Integration neu.
Schritt 9
Das Integral von nach ist .
Schritt 10
Schritt 10.1
Berechne bei und .
Schritt 10.2
Berechne bei und .
Schritt 10.3
Entferne die Klammern.
Schritt 11
Schritt 11.1
Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, .
Schritt 11.2
Kombiniere und .
Schritt 11.3
Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, .
Schritt 11.4
Kombiniere und .
Schritt 12
Schritt 12.1
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 12.2
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 12.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 12.4
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 12.5
Dividiere durch .
Schritt 13
Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.
Exakte Form:
Dezimalform:
Schritt 14