Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{2} (2 x + 5) - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 2}^{2} 2 x d x + \int_{- 2}^{2} 5 d x + \int_{- 2}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{- 2}^{2} x d x + \int_{- 2}^{2} 5 d x + \int_{- 2}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 5 d x + \int_{- 2}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 5 d x + \int_{- 2}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - \int_{- 2}^{2} x^{2} + 2 x + 1 d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 2 x d x + \int_{- 2}^{2} d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 2 x d x + \int_{- 2}^{2} d x)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 2 x d x + \int_{- 2}^{2} d x)$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2} + 2 \int_{- 2}^{2} x d x + \int_{- 2}^{2} d x)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} d x)$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} d x)$

Schritt 13

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + x]_{- 2}^{2})$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Kombiniere $\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}$ und $x]_{- 2}^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{- 2}^{2})$

Schritt 14.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $- 2$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{- 2}^{2})$

Schritt 14.2.2

Berechne $5 x$ bei $2$ und $- 2$ .

$2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{- 2}^{2})$

Schritt 14.2.3

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $- 2$ .

$2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{- 2}^{2})$

Schritt 14.2.4

Berechne $\frac{x^{3}}{3} + x$ bei $2$ und $- 2$ .

$2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5

Vereinfache.

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Schritt 14.2.5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 14.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 (2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$2 (2 - \frac{4}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 14.2.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.5.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (2 - \frac{2}{1}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 (2 - 1 \cdot 2) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (2 - 2) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.6

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$2 \cdot 0 + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.7

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.8

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$0 + 10 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.9

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$0 + 10 + 10 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.10

Addiere $10$ und $10$ .

$0 + 20 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.11

Addiere $0$ und $20$ .

$20 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$20 - (2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 14.2.5.13.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$20 - (2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.5.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$20 - (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 - (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$20 - (2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.13.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$20 - (2 (2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.14

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$20 - (2 (2 - \frac{4}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 14.2.5.15.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$20 - (2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.5.15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$20 - (2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 - (2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$20 - (2 (2 - \frac{2}{1}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.15.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$20 - (2 (2 - 1 \cdot 2) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$20 - (2 (2 - 2) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.17

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$20 - (2 \cdot 0 + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.18

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$20 - (0 + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.19

Potenziere $2$ mit $3$ .

$20 - (0 + \frac{8}{3} + 2 - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.20

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$20 - (0 + \frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.21

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$20 - (0 + \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$20 - (0 + \frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.2.5.23.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$20 - (0 + \frac{8 + 6}{3} - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.23.2

Addiere $8$ und $6$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.24

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} - (\frac{- 8}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.25

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$20 - (0 + \frac{14}{3} - (- \frac{8}{3} - 2))$

Schritt 14.2.5.26

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} - (- \frac{8}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}))$

Schritt 14.2.5.27

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{3}$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} - (- \frac{8}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}))$

Schritt 14.2.5.28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$20 - (0 + \frac{14}{3} - \frac{- 8 - 2 \cdot 3}{3})$

Schritt 14.2.5.29

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.2.5.29.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} - \frac{- 8 - 6}{3})$

Schritt 14.2.5.29.2

Subtrahiere $6$ von $- 8$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} - \frac{- 14}{3})$

Schritt 14.2.5.30

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$20 - (0 + \frac{14}{3} - - \frac{14}{3})$

Schritt 14.2.5.31

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} + 1 (\frac{14}{3}))$

Schritt 14.2.5.32

Mutltipliziere $\frac{14}{3}$ mit $1$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} + \frac{14}{3})$

Schritt 14.2.5.33

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$20 - (0 + \frac{14 + 14}{3})$

Schritt 14.2.5.34

Addiere $14$ und $14$ .

$20 - (0 + \frac{28}{3})$

Schritt 14.2.5.35

Addiere $0$ und $\frac{28}{3}$ .

$20 - \frac{28}{3}$

Schritt 14.2.5.36

Um $20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$20 \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3}$

Schritt 14.2.5.37

Kombiniere $20$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 3}{3} - \frac{28}{3}$

Schritt 14.2.5.38

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20 \cdot 3 - 28}{3}$

Schritt 14.2.5.39

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.2.5.39.1

Mutltipliziere $20$ mit $3$ .

$\frac{60 - 28}{3}$

Schritt 14.2.5.39.2

Subtrahiere $28$ von $60$ .

$\frac{32}{3}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{32}{3}$

Dezimalform:

$10.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$10 \frac{2}{3}$

Schritt 16