Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Berechne $\ln (| x |)$ bei $4$ und $1$ .

$(\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

Schritt 6.1.2

Berechne $- x^{- 1}$ bei $4$ und $1$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Schritt 6.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1)$

Schritt 6.1.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Schritt 6.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 4}{4}$

Schritt 6.1.3.5

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{3}{4}$

Schritt 6.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\ln (\frac{4}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

Schritt 6.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{4}{1}) - \frac{3}{4}$

Schritt 6.3.3

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

Dezimalform:

$0.63629436 \dots$

Schritt 8