Analysis Beispiele

$\int_{1}^{32} x^{- \frac{6}{5}} d x$

Schritt 1

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{6}{5}}$ nach $x$ gleich $- 5 x^{- \frac{1}{5}}$ .

$- 5 x^{- \frac{1}{5}}]_{1}^{32}$

Schritt 2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 2.1

Berechne $- 5 x^{- \frac{1}{5}}$ bei $32$ und $1$ .

$(- 5 \cdot 32^{- \frac{1}{5}}) + 5 \cdot 1^{- \frac{1}{5}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \cdot \frac{1}{32^{\frac{1}{5}}} + 5 \cdot 1^{- \frac{1}{5}}$

Schritt 2.2.2

Schreibe $32$ als $2^{5}$ um.

$- 5 \cdot \frac{1}{{(2^{5})}^{\frac{1}{5}}} + 5 \cdot 1^{- \frac{1}{5}}$

Schritt 2.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 \cdot \frac{1}{2^{5 (\frac{1}{5})}} + 5 \cdot 1^{- \frac{1}{5}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 5 \cdot \frac{1}{2^{5 (\frac{1}{5})}} + 5 \cdot 1^{- \frac{1}{5}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 5 \cdot \frac{1}{2^{1}} + 5 \cdot 1^{- \frac{1}{5}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$- 5 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot 1^{- \frac{1}{5}}$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2} + 5 \cdot 1^{- \frac{1}{5}}$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{2} + 5 \cdot 1^{- \frac{1}{5}}$

Schritt 2.2.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{5}{2} + 5 \cdot 1$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- \frac{5}{2} + 5$

Schritt 2.2.10

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.2.11

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 5 + 5 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.13.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{- 5 + 10}{2}$

Schritt 2.2.13.2

Addiere $- 5$ und $10$ .

$\frac{5}{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{2}$

Dezimalform:

$2.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{1}{2}$

Schritt 4