Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Schritt 2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{1}^{4} x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Schritt 5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Schritt 8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Schritt 12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.1

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $4$ und $1$ .

$4 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Schritt 12.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $4$ und $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $4$ und $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + x]_{1}^{4}$

Schritt 12.4

Berechne $x$ bei $4$ und $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

$4 (\frac{256}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $256$ und $4$ .

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Schritt 12.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $256$ heraus.

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{64}{1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.2.2.4

Dividiere $64$ durch $1$ .

$4 (64 - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (64 - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.4

Um $64$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$4 (64 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.5

Kombiniere $64$ und $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{64 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{64 \cdot 4 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.5.7.1

Mutltipliziere $64$ mit $4$ .

$4 \frac{256 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.7.2

Subtrahiere $1$ von $256$ .

$4 (\frac{255}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.8

Kombiniere $4$ und $\frac{255}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.9

Mutltipliziere $4$ mit $255$ .

$\frac{1020}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1020$ und $4$ .

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Schritt 12.5.10.1

Faktorisiere $4$ aus $1020$ heraus.

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.5.10.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 255}{4 (1)} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 255}{4 \cdot 1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{255}{1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.10.2.4

Dividiere $255$ durch $1$ .

$255 - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.11

Potenziere $4$ mit $3$ .

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$255 - 2 \frac{64 - 1}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.14

Subtrahiere $1$ von $64$ .

$255 - 2 (\frac{63}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $63$ und $3$ .

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Schritt 12.5.15.1

Faktorisiere $3$ aus $63$ heraus.

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.5.15.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$255 - 2 (\frac{21}{1}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.15.2.4

Dividiere $21$ durch $1$ .

$255 - 2 \cdot 21 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.16

Mutltipliziere $- 2$ mit $21$ .

$255 - 42 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.17

Subtrahiere $42$ von $255$ .

$213 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.18

Potenziere $4$ mit $2$ .

$213 + 3 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 12.5.19.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.5.19.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$213 + 3 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.19.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$213 + 3 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.20

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$213 + 3 (8 - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.21

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$213 + 3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.22

Kombiniere $8$ und $\frac{2}{2}$ .

$213 + 3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$213 + 3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 4 - 1$

Schritt 12.5.24

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.5.24.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$213 + 3 \frac{16 - 1}{2} + 4 - 1$

Schritt 12.5.24.2

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$213 + 3 (\frac{15}{2}) + 4 - 1$

Schritt 12.5.25

Kombiniere $3$ und $\frac{15}{2}$ .

$213 + \frac{3 \cdot 15}{2} + 4 - 1$

Schritt 12.5.26

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$213 + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Schritt 12.5.27

Um $213$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$213 \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Schritt 12.5.28

Kombiniere $213$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{213 \cdot 2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Schritt 12.5.29

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{213 \cdot 2 + 45}{2} + 4 - 1$

Schritt 12.5.30

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.5.30.1

Mutltipliziere $213$ mit $2$ .

$\frac{426 + 45}{2} + 4 - 1$

Schritt 12.5.30.2

Addiere $426$ und $45$ .

$\frac{471}{2} + 4 - 1$

Schritt 12.5.31

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{471}{2} + 3$

Schritt 12.5.32

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{471}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 12.5.33

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{471}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Schritt 12.5.34

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{471 + 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 12.5.35

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.5.35.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{471 + 6}{2}$

Schritt 12.5.35.2

Addiere $471$ und $6$ .

$\frac{477}{2}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{477}{2}$

Dezimalform:

$238.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$238 \frac{1}{2}$

Schritt 14