Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} 5 y \sqrt{y} + 3 \sqrt{y} d y$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} 5 y \cdot y^{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Schritt 1.2

Multipliziere $y$ mit $y^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Bewege $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y) + 3 \sqrt{y} d y$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $y^{\frac{1}{2}}$ mit $y$ .

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Schritt 1.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) + 3 \sqrt{y} d y$

Schritt 1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + 1} + 3 \sqrt{y} d y$

Schritt 1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1 + 2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Schritt 1.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Schritt 3

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{1}^{4} y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{\frac{3}{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $y^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} \sqrt{y} d y$

Schritt 7

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{\frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$ bei $4$ und $1$ .

$5 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $4$ und $1$ .

$5 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 9.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$5 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$5 (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $32$ .

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \frac{64 - 2}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.9

Subtrahiere $2$ von $64$ .

$5 (\frac{62}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.10

Kombiniere $5$ und $\frac{62}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.11

Mutltipliziere $5$ mit $62$ .

$\frac{310}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $310$ und $5$ .

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Schritt 9.2.3.12.1

Faktorisiere $5$ aus $310$ heraus.

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.12.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 \cdot 62}{5 (1)} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 62}{5 \cdot 1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{62}{1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.12.2.4

Dividiere $62$ durch $1$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.13

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.14

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.3.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.15.2

Forme den Ausdruck um.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.16

Potenziere $2$ mit $3$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.17

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 9.2.3.18

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Schritt 9.2.3.19

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 9.2.3.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$62 + 3 \frac{16 - 2}{3}$

Schritt 9.2.3.21

Subtrahiere $2$ von $16$ .

$62 + 3 (\frac{14}{3})$

Schritt 9.2.3.22

Kombiniere $3$ und $\frac{14}{3}$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

Schritt 9.2.3.23

Mutltipliziere $3$ mit $14$ .

$62 + \frac{42}{3}$

Schritt 9.2.3.24

Kürze den gemeinsamen Teiler von $42$ und $3$ .

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Schritt 9.2.3.24.1

Faktorisiere $3$ aus $42$ heraus.

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

Schritt 9.2.3.24.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.24.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Schritt 9.2.3.24.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3.24.2.3

Forme den Ausdruck um.

$62 + \frac{14}{1}$

Schritt 9.2.3.24.2.4

Dividiere $14$ durch $1$ .

$62 + 14$

Schritt 9.2.3.25

Addiere $62$ und $14$ .

$76$

Schritt 10