Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} (1 - u) \sqrt{u} d u$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} (1 - u) u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 2

Multipliziere $(1 - u) u^{\frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{4} 1 u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $u^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) d u$

Schritt 2.4

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) d u$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{1 + \frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2 + 1}{2}} d u$

Schritt 2.8

Addiere $2$ und $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $4$ und $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ bei $4$ und $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16 - 2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.10

Subtrahiere $2$ von $16$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.11

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.12

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.13.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.14

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.15

Mutltipliziere $2$ mit $32$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 7.2.3.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5})$

Schritt 7.2.3.17

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

Schritt 7.2.3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{14}{3} - \frac{64 - 2}{5}$

Schritt 7.2.3.19

Subtrahiere $2$ von $64$ .

$\frac{14}{3} - \frac{62}{5}$

Schritt 7.2.3.20

Um $\frac{14}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5}$

Schritt 7.2.3.21

Um $- \frac{62}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.3.22

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.22.1

Mutltipliziere $\frac{14}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{14 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.3.22.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.3.22.3

Mutltipliziere $\frac{62}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.22.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{15}$

Schritt 7.2.3.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{14 \cdot 5 - 62 \cdot 3}{15}$

Schritt 7.2.3.24

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.24.1

Mutltipliziere $14$ mit $5$ .

$\frac{70 - 62 \cdot 3}{15}$

Schritt 7.2.3.24.2

Mutltipliziere $- 62$ mit $3$ .

$\frac{70 - 186}{15}$

Schritt 7.2.3.24.3

Subtrahiere $186$ von $70$ .

$\frac{- 116}{15}$

Schritt 7.2.3.25

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{116}{15}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{116}{15}$

Dezimalform:

$- 7.7\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 7 \frac{11}{15}$

Schritt 9