Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} - \frac{4}{x} d x$

Schritt 1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{4} \frac{4}{x} d x$

Schritt 2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- (4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- 4 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Berechne $\ln (| x |)$ bei $4$ und $1$ .

$- 4 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 5.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 4 \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$- 4 \ln (\frac{4}{| 1 |})$

Schritt 5.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$- 4 \ln (\frac{4}{1})$

Schritt 5.3.3

Dividiere $4$ durch $1$ .

$- 4 \ln (4)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$- 4 \ln (2^{2})$

Schritt 6.2

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$- 4 (2 \ln (2))$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 8 \ln (2)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 8 \ln (2)$

Dezimalform:

$- 5.54517744 \dots$

Schritt 8