Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} \frac{t^{8} - t^{4}}{t^{6}} d t$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{8} - t^{4}$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{8}$ heraus.

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} t^{4} - t^{4}}{t^{6}} d t$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $t^{4}$ aus $- t^{4}$ heraus.

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1}{t^{6}} d t$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1$ heraus.

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{6}} d t$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{6}$ heraus.

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

Schritt 1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} - 1}{t^{2}} d t$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Bringe $t^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (t^{4} - 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (t^{4} - 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (t^{4} - 1) t^{- 2} d t$

Schritt 2

Multipliziere $(t^{4} - 1) t^{- 2}$ .

$\int_{1}^{4} t^{4} t^{- 2} - 1 t^{- 2} d t$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere $t^{4}$ mit $t^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{4} t^{4 - 2} - 1 t^{- 2} d t$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\int_{1}^{4} t^{2} - 1 t^{- 2} d t$

Schritt 3.2

Schreibe $- 1 t^{- 2}$ als $- t^{- 2}$ um.

$\int_{1}^{4} t^{2} - t^{- 2} d t$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{4} t^{2} d t + \int_{1}^{4} - t^{- 2} d t$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - t^{- 2} d t$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} t^{- 2} d t$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- 2}$ nach $t$ gleich $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{4} - (- t^{- 1}]_{1}^{4})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{1}{3} t^{3}$ bei $4$ und $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- t^{- 1}]_{1}^{4})$

Schritt 8.2

Berechne $- t^{- 1}$ bei $4$ und $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $64$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{64 - 1}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.6

Subtrahiere $1$ von $64$ .

$\frac{63}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $63$ und $3$ .

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Schritt 8.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $63$ heraus.

$\frac{3 \cdot 21}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 21}{3 (1)} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21}{1} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.7.2.4

Dividiere $21$ durch $1$ .

$21 - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$21 - (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$21 - (- \frac{1}{4} + 1)$

Schritt 8.3.10

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$21 - (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Schritt 8.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$21 - \frac{- 1 + 4}{4}$

Schritt 8.3.12

Addiere $- 1$ und $4$ .

$21 - \frac{3}{4}$

Schritt 8.3.13

Um $21$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$21 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Schritt 8.3.14

Kombiniere $21$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{21 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}$

Schritt 8.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{21 \cdot 4 - 3}{4}$

Schritt 8.3.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.16.1

Mutltipliziere $21$ mit $4$ .

$\frac{84 - 3}{4}$

Schritt 8.3.16.2

Subtrahiere $3$ von $84$ .

$\frac{81}{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{81}{4}$

Dezimalform:

$20.25$

Darstellung als gemischte Zahl:

$20 \frac{1}{4}$

Schritt 10