Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{2}{x}} d x$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{\frac{2}{x}}$ als $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$ um.

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Da $\sqrt{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\sqrt{2}$ aus dem Integral.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $2 x^{\frac{1}{2}}$ bei $4$ und $1$ .

$\sqrt{2} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.4

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1)$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\sqrt{2} (4 - 2)$

Schritt 5.2.8

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\sqrt{2} \cdot 2$

Schritt 5.2.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$2.82842712 \dots$

Schritt 7