Analysis Beispiele

$\int_{1}^{32} \sqrt[5]{x} d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{32} x^{\frac{1}{5}} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{5}}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}]_{1}^{32}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}$ bei $32$ und $1$ .

$(\frac{5}{6} \cdot 32^{\frac{6}{5}}) - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $32$ als $2^{5}$ um.

$\frac{5}{6} \cdot {(2^{5})}^{\frac{6}{5}} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{6} \cdot 2^{5 (\frac{6}{5})} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{6} \cdot 2^{5 (\frac{6}{5})} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{6} \cdot 2^{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.4

Potenziere $2$ mit $6$ .

$\frac{5}{6} \cdot 64 - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $\frac{5}{6}$ und $64$ .

$\frac{5 \cdot 64}{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $64$ .

$\frac{320}{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $320$ und $6$ .

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Schritt 3.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $320$ heraus.

$\frac{2 (160)}{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 160}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 160}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{160}{3} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{160}{3} - \frac{5}{6} \cdot 1$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{160}{3} - \frac{5}{6}$

Schritt 3.2.10

Um $\frac{160}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{160}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{6}$

Schritt 3.2.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.11.1

Mutltipliziere $\frac{160}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{160 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{5}{6}$

Schritt 3.2.11.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{160 \cdot 2}{6} - \frac{5}{6}$

Schritt 3.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{160 \cdot 2 - 5}{6}$

Schritt 3.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.13.1

Mutltipliziere $160$ mit $2$ .

$\frac{320 - 5}{6}$

Schritt 3.2.13.2

Subtrahiere $5$ von $320$ .

$\frac{315}{6}$

Schritt 3.2.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $315$ und $6$ .

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Schritt 3.2.14.1

Faktorisiere $3$ aus $315$ heraus.

$\frac{3 (105)}{6}$

Schritt 3.2.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.14.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 105}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.2.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 105}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.2.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{105}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{105}{2}$

Dezimalform:

$52.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$52 \frac{1}{2}$

Schritt 5