Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} e - x d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} e d x + \int_{1}^{2} - x d x$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$e x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - x d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e x]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$e x]_{1}^{2} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $e x$ bei $2$ und $1$ .

$(e \cdot 2) - e \cdot 1 - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Schritt 5.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $1$ .

$e \cdot 2 - e \cdot 1 - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e$ .

$2 \cdot e - e \cdot 1 - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 e - e - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.3

Subtrahiere $e$ von $2 e$ .

$e - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e - (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e - (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$e - (2 - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e - (2 - \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.3.7

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.3.8

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$e - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e - \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 5.2.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e - \frac{4 - 1}{2}$

Schritt 5.2.3.10.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$e - \frac{3}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e - \frac{3}{2}$

Dezimalform:

$1.21828182 \dots$

Schritt 7