Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} {(x + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ als $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ um.

$\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{2} x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 1.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 1.3.1.3

Multipliziere $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Schritt 1.3.1.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Schritt 1.3.1.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Schritt 1.3.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Schritt 1.3.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{2} x^{1 + 1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}$ und $2 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2}$ und $- x^{- 1}]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}$ bei $2$ und $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$\frac{8}{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{8}{3} + 4 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.5

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 + 4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{8 + 12}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.7.2

Addiere $8$ und $12$ .

$\frac{20}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.9

Um $\frac{20}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.10

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.2.11.1

Mutltipliziere $\frac{20}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{20 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.11.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.11.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.11.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20 \cdot 2 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.13.1

Mutltipliziere $20$ mit $2$ .

$\frac{40 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.13.2

Subtrahiere $3$ von $40$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.14

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.15

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.17

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.18

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.20.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 6}{3} - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.20.2

Addiere $1$ und $6$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2.21

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot 1)$

Schritt 8.2.2.22

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1)$

Schritt 8.2.2.23

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 8.2.2.24

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})$

Schritt 8.2.2.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 8.2.2.26

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.26.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 3}{3}$

Schritt 8.2.2.26.2

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3}$

Schritt 8.2.2.27

Um $- \frac{4}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8.2.2.28

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.2.28.1

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 8.2.2.28.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{6}$

Schritt 8.2.2.29

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{37 - 4 \cdot 2}{6}$

Schritt 8.2.2.30

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.30.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{37 - 8}{6}$

Schritt 8.2.2.30.2

Subtrahiere $8$ von $37$ .

$\frac{29}{6}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{29}{6}$

Dezimalform:

$4.8\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$4 \frac{5}{6}$

Schritt 10