Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} 5 n^{- 2} - n^{- 3} d n$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{3} 5 n^{- 2} d n + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

Schritt 2

Da $5$ konstant bezüglich $n$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{1}^{3} n^{- 2} d n + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $n^{- 2}$ nach $n$ gleich $- n^{- 1}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $n$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - \int_{1}^{3} n^{- 3} d n$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $n^{- 3}$ nach $n$ gleich $- \frac{1}{2} n^{- 2}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{1}{2} n^{- 2}]_{1}^{3})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere $n^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{n^{- 2}}{2}]_{1}^{3})$

Schritt 6.1.2

Bringe $n^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{1}{2 n^{2}}]_{1}^{3})$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne $- n^{- 1}$ bei $3$ und $1$ .

$5 ((- 3^{- 1}) + 1^{- 1}) - (- \frac{1}{2 n^{2}}]_{1}^{3})$

Schritt 6.2.2

Berechne $- \frac{1}{2 n^{2}}$ bei $3$ und $1$ .

$5 ((- 3^{- 1}) + 1^{- 1}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{3} + 1^{- 1}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 6.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (- \frac{1}{3} + 1) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 6.2.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$5 (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 6.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \frac{- 1 + 3}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 6.2.3.5

Addiere $- 1$ und $3$ .

$5 (\frac{2}{3}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 6.2.3.6

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 6.2.3.7

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 6.2.3.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 6.2.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 6.2.3.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Schritt 6.2.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.3.12

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

Schritt 6.2.3.13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.3.13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

Schritt 6.2.3.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

Schritt 6.2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10}{3} - \frac{- 1 + 9}{18}$

Schritt 6.2.3.15

Addiere $- 1$ und $9$ .

$\frac{10}{3} - \frac{8}{18}$

Schritt 6.2.3.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $18$ .

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Schritt 6.2.3.16.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{10}{3} - \frac{2 (4)}{18}$

Schritt 6.2.3.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.16.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.3.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.3.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10}{3} - \frac{4}{9}$

Schritt 6.2.3.17

Um $\frac{10}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{9}$

Schritt 6.2.3.18

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.3.18.1

Mutltipliziere $\frac{10}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{4}{9}$

Schritt 6.2.3.18.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{10 \cdot 3}{9} - \frac{4}{9}$

Schritt 6.2.3.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 \cdot 3 - 4}{9}$

Schritt 6.2.3.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.20.1

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$\frac{30 - 4}{9}$

Schritt 6.2.3.20.2

Subtrahiere $4$ von $30$ .

$\frac{26}{9}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{26}{9}$

Dezimalform:

$2.\overline{8}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{8}{9}$

Schritt 8