Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} w^{2} - 4 w + 5 d w$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{3} w^{2} d w + \int_{1}^{3} - 4 w d w + \int_{1}^{3} 5 d w$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $w^{2}$ nach $w$ gleich $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 4 w d w + \int_{1}^{3} 5 d w$

Schritt 3

Da $- 4$ konstant bezüglich $w$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3} - 4 \int_{1}^{3} w d w + \int_{1}^{3} 5 d w$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $w$ nach $w$ gleich $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{1}{2} w^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 5 d w$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $w^{2}$ .

$\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{w^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 5 d w$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{w^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 5 w]_{1}^{3}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3}$ und $5 w]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{3} w^{3} + 5 w]_{1}^{3} - 4 (\frac{w^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{1}{3} w^{3} + 5 w$ bei $3$ und $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 (\frac{w^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{w^{2}}{2}$ bei $3$ und $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $27$ .

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.3.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.5

Addiere $9$ und $15$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$24 - (\frac{1}{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.8

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$24 - (\frac{1}{3} + 5) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.9

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.10

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$24 - \frac{1 + 5 \cdot 3}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.12.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$24 - \frac{1 + 15}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.12.2

Addiere $1$ und $15$ .

$24 - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.13

Um $24$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.14

Kombiniere $24$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{24 \cdot 3 - 16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.16.1

Mutltipliziere $24$ mit $3$ .

$\frac{72 - 16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.16.2

Subtrahiere $16$ von $72$ .

$\frac{56}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.17

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.18

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.3.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{56}{3} - 4 \frac{9 - 1}{2}$

Schritt 7.2.3.20

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{8}{2})$

Schritt 7.2.3.21

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.21.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Schritt 7.2.3.21.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.21.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Schritt 7.2.3.21.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.21.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{4}{1})$

Schritt 7.2.3.21.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{56}{3} - 4 \cdot 4$

Schritt 7.2.3.22

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{56}{3} - 16$

Schritt 7.2.3.23

Um $- 16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.3.24

Kombiniere $- 16$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2.3.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{56 - 16 \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2.3.26

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.26.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $3$ .

$\frac{56 - 48}{3}$

Schritt 7.2.3.26.2

Subtrahiere $48$ von $56$ .

$\frac{8}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{8}{3}$

Dezimalform:

$2.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{2}{3}$

Schritt 9